Question

【題目】如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中點，E是棱CC1上任意一點．

（1）證明：BD⊥A1E；

（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據正四棱柱性質得AA1⊥平面ABCD，即得AA1⊥BD，根據正方形性質的AC⊥BD，再根據線面垂直判定定理得BD⊥平面ACC1A1，即可得結論；

（2）根據勾股定理列等量關系，解得結果.

（1）證明：連結AC，A1C1，

∵AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴AA1⊥BD，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

又AC∩AA1=A，AC平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，

∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E平面ACC1A1，

∴BD⊥A1E．

（2）∵AB=2，∴AO=CO=，A1C1=2，

設AA1=a，則C1E=a﹣，

∴OE2=4，A1O2=a2+2，A1E2=（a﹣）2+8=a2﹣2a+10，

∵OE⊥A1E，

∴A1O2=OE2+A1E2，即a2+2=4+a2﹣2a+10，

解得a=．∴AA1=．