Question

（本小題滿分12分）如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點，，且．

  （1）求證：平面；

  （2）求直線與平面所成的角的大小；
（3）求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ)見解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）

法一：(Ⅰ)∵四邊形是正方形，

．  ………………………1分
∵平面平面，又∵，
平面．         ……………………2分
平面，．……………3分
平面．           ………………4分
(Ⅱ)連結，
平面，
是直線與平面所成的角．………5分
設，則
，，  ………………………6分
，． 
即直線與平面所成的角為…8分
（Ⅲ）過作于，連結．  ……………………9分
平面，．平面．
是二面角的平面角．……10分
∵平面平面，平面．
．
在中，，有．
由(Ⅱ)所設可得
，，
． ………………10分
．．
∴二面角等于．     ……………………12分
解法二: ∵四邊形是正方形，，
∵平面平面，平面，    ………2分
∴可以以點為原點，以過點平行于的直線為軸，
分別以直線和為軸和軸，建立如圖所示的空
間直角坐標系．
設，則
，
      是正方形的對角線的交點，
．……………4分
（Ⅰ），，
，
，  ……………………………………4分
平面． ………………5分
（Ⅱ）平面，為平面的一個法向量，…………6分
，．……………7分
．∴直線與平面所成的角為．  ……8分
(Ⅲ) 設平面的法向量為，則且，
且．
     即
取，則，則．………………10分
又∵為平面的一個法向量，且，
，設二面角的平面角為，則，．∴二面角等于．…12分