Question

有如下四個命題：①命題“有的三角形是直角三角形”的否定為“所有的三角形都不是直角三角形”；②不等式|x-2010|+|x-2011|＜a在R上有解，則實數a的取值范圍是（1，+∞）；③已知函數f（x）=sin（2x+θ）（θ∈R），且對?x∈R，f(

π

2

-x)=-f(x)，則cos（2θ）=-1；④若偶函數f（x）=log_a|x+b|（a＞0，a≠1）在（-∞，0）內單調遞增，則f（a+1）＜f（b+2）其中真命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：利用特稱命題的否定方法，絕對值不等式，三角函數的恒等變形，及對數函數的單調性與特殊點，我們逐一分析已知中的四個結論，即可得到答案．

解答：解：命題“有的三角形是直角三角形”的否定為“所有的三角形都不是直角三角形”，故①正確；
若關于x的不等式|x-2010|+|x-2011|＜a在R上有解，a即a大于|x-2010|+|x-2011|的最小值即可，∵|x-2010|+|x-2011|≥1即a＞1，故②正確；
函數f（x）=sin（2x+θ）（θ∈R），則 f(

π

2

-x)=sin（π-2x+θ）=sin（2x-θ）=-f（x）=-sin（2x+θ），則cosθsin（2x）=0，即cosθ=0，∴cos2θ=2cos²θ-1=-1，故③正確；
若偶函數f（x）=log_a|x+b|（a＞0，a≠1），則b=0，在（-∞，0）內單調遞增，則0＜a＜1，由對稱性知，在（0，+∞）內單調遞減，則f（a+1）＜f（b+2）錯誤．
故答案為：①②③

點評：本題考查的知識點是對數函數的單調性與特殊點，命題的否定，絕對值不等式，其中熟練掌握處理這些問題的方法和步驟是解答本題的關鍵．