Question

（2013•豐臺區一模）設滿足以下兩個條件的有窮數列a₁，a₂，…，a_n為n（n=2，3，4，…，）階“期待數列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分別寫出一個單調遞增的3階和4階“期待數列”；
（Ⅱ）若某2013階“期待數列”是等差數列，求該數列的通項公式；
（Ⅲ）記n階“期待數列”的前k項和為S_k（k=1，2，3，…，n），試證：|Sk|≤

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）結合已知新定義即可寫出符合條件的數列
（Ⅱ）設該2013階“期待數列”的公差為d，由題意可得，a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=0，結合等差數列的求和公式可求a₁+a₂₀₁₃=0，從而可求得a₁₀₀₇=0，進而可得a₁₀₀₈=d，分d＞0及d＜0兩種情況可求通項公式
（Ⅲ）當k=n時，顯然|Sn|=0≤

1

2

成立； 當k＜n時，根據條件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），從而可求|S_k|，再利用不等式的性質即可證明

解答：解：（Ⅰ）數列-

1

2

，0，

1

2

為三階期待數列…（1分）
數列-

3

8

，-

1

8

，

1

8

，

3

8

為四階期待數列，…（3分）（其它答案酌情給分）
（Ⅱ）設該2013階“期待數列”的公差為d，
因為a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=0，
∴

2013(a1+a2013)

2

=0，
∴a₁+a₂₀₁₃=0，
即a₁₀₀₇=0，
∴a₁₀₀₈=d，…（5分）
當d=0時，與期待數列的條件①②矛盾，
當d＞0時，據期待數列的條件①②可得a1008+a1009+…+a2013=

1

2

∴1006d+

1006×1005d

2

=

1

2

即d=

1

1006×1007

…（6分）
∴該數列的通項公式為a_n=a₁₀₀₇+（n-1007）d=

n-1007

1006×1007

（n∈N^*且n≤2013），…（7分）
當d＜0時，同理可得an=

1007-n

1006×1007

（n∈N^*且n≤2013）．…（8分）
（Ⅲ）當k=n時，顯然|Sn|=0≤

1

2

成立； …（9分）
當k＜n時，根據條件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），…（10分）
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，…（11分）
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|
∴|Sk|≤

1

2

（14分）

點評：本題以新定義為載體主要考查了數列的通項及求和公式的應用，解答本題的關鍵是具備一定的邏輯推理的運算的能力