Question

如圖，山頂有一座石塔BC，已知石塔的高度為a．

（Ⅰ）若以B，C為觀測(cè)點(diǎn)，在塔頂B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為α，在塔底C處測(cè)得A處的俯角為β，用a，α，β表示山的高度h；
（Ⅱ）若將觀測(cè)點(diǎn)選在地面的直線AD上，其中D是塔頂B在地面上的射影．已知石塔高度a=20，當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)E在AD上滿(mǎn)足DE=60

10

時(shí)看BC的視角（即∠BEC）最大，求山的高度h．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，在△ABC中算出∠BAC=α-β、∠BCA=90°+β，利用正弦定理加以計(jì)算，即可得到用a，α，β表示山的高度h的式子；
（2）設(shè)DE=x，利用正切的差角公式與三角函數(shù)的定義列式，然后根據(jù)基本不等式，可算出當(dāng)x=

h(h+20)

時(shí)，∠BEC最大，進(jìn)而算出此時(shí)的h=180，即為所求山的高度．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得
在△ABC中，∠BAC=α-β，∠BCA=90°+β，
由正弦定理，可得

BC

sin∠BAC

=

AB

sin∠BCA

∴AB=

asin(90°+β)

sin(α-β)

=

acosβ

sin(α-β)

則h=AB•sinα-a=

acosβsinα

sin(α-β)

-a=

a•cosαsinβ

sin(α-β)

，即為所求表示式；
（2）設(shè)DE=x，
∵tan∠BED=

h+20

x

，tan∠CED=

h

x

∴tan∠BEC=

tan∠BED-tan∠CED

1+tan∠BED•tan∠CED

=

20 x

1+ (h+20)h x2

=

20

x+ (h+20)h x

≤

10

h(h+20)

當(dāng)且僅當(dāng)x=

(h+20)h

x

即x=

h(h+20)

時(shí)，tan∠BEC最大，從而∠BEC最大
結(jié)合題意，可得

h(h+20)

=60

10

，解之得h=180，即為所求山的高度．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，求山高h(yuǎn)的表示式并依此求視角最大時(shí)的山高h(yuǎn)，著重考查了基本不等式、正弦定理與兩角差正切公式等知識(shí)，屬于中檔題．