Question

（2012•許昌三模）在某醫(yī)學實驗中，某實驗小組為了分析某種藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關(guān)系，選取六只實驗動物進行血檢，得到如下資料：

動物編號	1	2	3	4	5	6
用藥量x（單位）	1	3	4	5	6	8
抗體指標y （單位）	3.4	3.7	3.8	4.0	4.2	4.3

記s為抗體指標標準差，若抗體指標落在（

.

y

-s，

.

y

+s）內(nèi)則稱該動物為有效動物，否則稱為無效動物．研究方案規(guī)定先從六只動物中選取兩只，用剩下的四只動物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的兩只動物數(shù)據(jù)進行檢驗．
（Ⅰ）設(shè)選取的兩只動物中有效動物的只數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列與期望；
（Ⅱ）若選取的是編號為1和6的兩只動物，且利用剩余四只動物的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程為

y

=0.17x+a，試求出a的值；
（Ⅲ）若根據(jù)回歸方程估計出的1號和6號動物的抗體指標數(shù)據(jù)與檢驗結(jié)果誤差都不超過抗體指標標準差則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試判斷（Ⅱ）中所得線性回歸方程是否可靠．

Answer 1

分析：（Ⅰ）ξ的可能取值有0，1，2，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列及數(shù)學期望．
（Ⅱ）根據(jù)表格資料，可得對于2、3、4、5號動物，將

.

x

=4.5，

.

y

=3.925代入求出y關(guān)于x的線性回歸方程即得a值；
（Ⅲ）由（II）得

?

y

₁=3.33，

?

y

₆=4.52，從而得到誤差e₁=0.07，e₆=0.22均比標準差s≈0.31小，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）

.

y

=3.9，s≈0.31．故1、6號為無效動物，2、3、4、5號為有效動物----（2分）
所以隨機變量ξ的取值為0，1，2
記從六只動物中選取兩只所有可能結(jié)果共有

C

2 6

=15種．
P(ξ=0)=

1

15

P(ξ=1)=

C 1 2 • C 1 4

15

=

8

15

P(ξ=2)=

C 2 4

15

=

6

15

----（5分）
分別列為

ξ	0	1	2
P	1 15	8 15	2 5

期望E(ξ)=0×

1

15

+1×

8

15

+2×

2

5

=

4

3

---（6分）
（Ⅱ）對于2、3、4、5號動物，

.

x

=4.5，

.

y

=3.925代入

y

=0.17x+a得a=3.16．----（8分）
（Ⅲ）由

y

=0.17x+3.16得

?

y

₁=3.33，

?

y

₆=4.52．----（10分）
誤差e₁=0.07，e₆=0.22均比標準差s≈0.31小，故（Ⅱ）中回歸方程可靠．----（12分）

點評：本題考查獨立性檢本題考查獨立性檢驗，考查離散型隨機變量的分布列與期望，考查學生的閱讀與計算能力，屬于中檔題．