Question

函數f（x）是定義在[0，1]上，滿足f(x)=2f(

x

2

)且f（1）=1，在每個區間(

1

2i

，

1

2i-1

]（i=1，2，3，…）上，y=f（x）的圖象都是平行于x軸的直線的一部分．
（1）求f（0）及f(

1

2

)，f(

1

4

)的值，并歸納出f(

1

2i

)（i=1，2，3，…）的表達式；
（2）設直線x=

1

2i

，x=

1

2i-1

，x軸及y=f（x）的圖象圍成的矩形的面積為a_i（i=1，2，3，…），求a₁，a₂及

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)的值．

Answer 1

分析：（1）令式中的x=0，代入可得f（0），再令x=1，可得f（

1

2

），令x=

1

2

可得f（

1

4

），歸納可得；
（2）由題意可得ai=

1

22i-1

，由等比數列的求和公式可求和，取極限即可．

解答：解：（1）由題意可得f（0）=2f（0），故f（0）=0，
同理可得f（1）=2f（

1

2

），解得f(

1

2

)=

1

2

，
所以f（

1

2

）=2f（

1

4

），故f(

1

4

)=

1

4

，
由此可歸納出：f(

1

2i

)=

1

2i

（i=1，2，3，…）
（2）當

1

2i

＜x≤

1

2i-1

時，取f(x)=

1

2i-1

，
∴a1=

1

2

，a2=

1

8

，ai=

1

22i-1

（i=1，2，3，…）
所以{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

4

的等比數列，
∴

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

lim

n→∞

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

1 2

3 4

=

2

3

點評：本題考查歸納推理，以及數列的極限，屬基礎題．