Question

已知全集U=R集合A={x|x²-x-6＜0}，B={x|x²+2x-8＞0}，C={x|x²-4ax+3a²＜0}，若?_U（A∪B）⊆C，則實數a的取值范圍是

（-2，-

4

3

）

．

Answer 1

分析：求出A與B中不等式的解集，確定出A與B，求出A與B的并集，找出并集的補集，分a等于0，大于0及小于0三種情況分別表示出集合C中不等式的解集，根據補集為C的子集列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可確定出a的范圍．

解答：解：集合A={x|x²-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，B={x|x²+2x-8＞0}={x|x＞2或x＜-4}，
∴A∪B={x|x＞-2或x＜-4}，
∵全集為U=R，∴?_U（A∪B）={x|-4≤x≤-2}，
分三種情況考慮：
①當a=0時，集合C=∅，?_U（A∪B）⊆C不成立，舍去；
②當a＞0時，集合C={x|a＜x＜3a}，?_U（A∪B）⊆C不成立，舍去；
③當a＜0時，集合C={x|3a＜x＜a}，要使?_U（A∪B）⊆C成立，則有

3a＜-4 a＞-2

，
解得：-2＜a＜-

4

3

，
綜上實數a的范圍是（-2，-

4

3

）．
故答案為：（-2，-

4

3

）

點評：此題考查了交、并、補集的混合運算，以及集合間的包含關系判斷及應用，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．