Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．AB=AA₁，D是BC上的一點，且AD⊥C₁D，
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在一點P，使直線PB₁⊥平面AC₁D？若存在，找出這個點，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接A₁C交AC₁于E點，利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可得出；
（II）在棱CC₁上存在一點P，P為CC₁的中點，使直線PB₁⊥平面AC₁D．利用正三棱柱的性質和正三角形的性質可得AD⊥B₁P．
在正方形BCC₁B₁中，可得△CC₁D≌△C₁B₁P，即可證明B₁P⊥C₁D．再利用線面垂直的判定定理即可證明．

解答：證明：（Ⅰ）連接A₁C交AC₁于E點，則AE=EC₁．
∵CC₁⊥AD，且AD⊥C₁D，CC₁∩C₁D=C₁，
∴AD⊥側面BCC₁B₁，∴AD⊥BC．
∵△ABC是正三角形，∴D是BC的中點．
∴ED∥A₁B．
∵A₁B?平面AC₁D，ED?AC₁D．
∴A₁B∥平面AC₁D．
（Ⅱ）在棱CC₁上存在一點P，P為CC₁的中點，使直線PB₁⊥平面AC₁D．下面給出證明：
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁．可得CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AD．
又AD⊥C₁D，∴AD⊥BC．
∵C₁D∩CC₁=C₁，∴AD⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥B₁P．
∵△ABC是正三角形，∴D為邊BC的中點．
在正方形BCC₁B₁中，可得△CC₁D≌△C₁B₁P，
∴∠CC₁D=∠C₁B₁P．∴∠CC1D+∠C1PB1=90°，∴B₁P⊥C₁D．
∵AD∩DC₁=D，∴B₁P⊥平面AC₁D．

點評：熟練掌握線面平行于垂直的判定定理于性質定理、三角形的中位線定理、正三棱柱的性質、正三角形的性質、正方形的性質、三角形全等的性質等是解題的關鍵．