Question

已知函數f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）
（I）若f（x）能表示成一個奇函數g（x）和一個偶函數h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（II）命題P：函數f（x）在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數；命題Q：函數g（x）是減函數．如果命題P、Q有且僅有一個是真命題，求a的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，比較f（2）與3-lg2的大小．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）
∴
解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|；
（II）∵函數f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|=在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數，
∴，解得a≥-1或a≤-且a≠-2
又由函數g（x）=（a+1）x是減函數，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
∴命題P為真的條件是：a≥-1或a≤-且a≠-2，命題Q為真的條件是：a＜-1且a≠-2．
又∵命題P、Q有且僅有一個是真命題，
∴
（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6
∵，∴f（2）=2a+lg（a+2）+6
設函數v（a）=2a+lg（a+2）+6，v′（a）=2+＞0．
∴函數v（a）在區間上為增函數．
又∵=3-lg2，∴當時，v（a）＞，即f（2）＞3-lg2．
分析：（I）設f（x）=g（x）+h（x），利用函數的奇偶性，組成方程組，即可求得函數的解析式；
（II）將函數f（x）配方，利用函數在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數，可得命題P為真的條件；利用函數g（x）=（a+1）x是減函數，可得命題Q為真的條件，從而可求命題P、Q有且僅有一個是真命題，a的取值范圍；
（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6，確定函數v（a）=2a+lg（a+2）+6，在區間上為增函數，即可求得結論．
點評：本題考查函數單調性與奇偶性的結合，考查函數的單調性，考查大小比較，正確運用函數的單調性是關鍵．