Question

已知x=1是函數f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一個極值點，其中m，n∈R，m＜0．
（I）求m與n的關系表達式；
（II）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）由x=1是函數f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一個極值點，求導，則f′（1）=0，求得m與n的關系表達式；
（II）根據（I），代入f（x）中，求導，令導數f′（x）＞0，求得單調增區間，令f′（x）＜0，求得單調減區間．

解答：解：（I）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n，
因為x=1是f（x）的一個極值點，
所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6．
（II）由（I）知，
f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+

2

m

)]．
當m＜0時，有1＞1+

2

m

，當x變化時，f（x）與f'（x）的變化如下表：

x	(-∞，1+ 2 m )	1+ 2 m	(1+ 2 m ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

由上表知，當m＜0時，f（x）在(-∞，1+

2

m

)單調遞減，
在(1+

2

m

，1)單調遞增，（1+∞）單調遞減．

點評：考查利用導數研究函數的單調區間和極值問題，求函數的單調區間實質是解不等式，屬中檔題．