Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3x；
（1）求f（x）的單調區間；
（2）求f（x）在區間[﹣3，2]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3﹣3x，

∴f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．

令 f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．

若 x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），則f'（x）＞0，

故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函數，f（x）在（1，+∞）上是增函數，

若 x∈（﹣1，1），則f'（x）＜0，

故f（x）在（﹣1，1）上是減函數；

（2）解：∵f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2，

∴當x=﹣3時，f（x）在區間[﹣3，2]取到最小值為﹣18．

∴當x=﹣1或2時，f（x）在區間[﹣3，2]取到最大值為2．

【解析】（1）先求出函數f（x）=x3﹣3x的導函數f′（x），分別令f′（x）＞0和f′（x）＜0便可求出函數f（x）的單調區間；（2）分別求出兩個短點f（﹣3）和f（2）的值以及極值f（﹣1）和f（1）的值，比較一下便可求出f（x）在區間[﹣3，2]上的最大值和最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．