Question

（本題滿分10分）

已知圓,設A為圓C與x軸負半軸的交點，過點A作圓C的弦AM，并使弦AM的中點恰好落在y軸上.

      （1）當在內變化時，求點M的軌跡E的方程；

（2）設軌跡E的準線為, N為上的一個動點，過點N作軌跡E的兩條切線，切點分別為P，Q．求證：直線PQ必經過軸上的一個定點B，并寫出點B的坐標．

Answer 1

解(1)設,則的中點.因為,，.

在⊙中,因為，所以,，所以.

所以,

所以,點的軌跡的方程為: ……………………………………5分

(說明漏了不扣分)

(2)軌跡的準線

所以,可設,過的斜率存在的直線方程為:

由得.由得:.

設直線,斜率分別為,，則①且,

所以,

所以,直線的方程:.

令,則

由①知,即直線過定點.……………………………………10分