Question

已知關(guān)于x的方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0,a∈R,求:

(1)方程有兩個(gè)正根的充要條件;

(2)方程至少有一正根的充要條件.

Answer 1

解：方程有兩個(gè)實(shí)根的充要條件是

即a≥10或a≤2且a≠1.

(1)設(shè)此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂,則方程有兩個(gè)正根

解得1＜a≤2或a≥10.

∴1＜a≤2或a≥10是方程有兩個(gè)正根的充要條件.

(2)①由(1)可知,當(dāng)a≥10或1＜a≤2時(shí),方程有兩個(gè)正根;

②方程有一正根一負(fù)根的充要條件是

x₁x₂＜0＜0,即a＜1.

③當(dāng)a=1時(shí),方程可化為3x-4=0,有一正根x=.

綜上①②③,可知方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0至少有一正根的充要條件是a≤2或a≥10.