Question

給出四個命題：
①存在一個△ABC，使得sinA+cosA=-1；
②△ABC中，A＞B的充要條件為sinA＞sinB；
③直線x=

π

8

是函數y=sin（2x+

5π

4

）圖象的一條對稱軸；
④△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC一定是等腰三角形．
則其中正確命題的序號為

②③

．

Answer 1

分析：①△ABC中，若sinA+cosA=-1，兩邊同時平方可得sinAcosA=0，結合sinA+cosA=-1可判斷；
②由A＞B．?a＞b?2RsinA＞2RsinB；
③由于函數y=sin（2x+

5π

4

）的對稱軸為：2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，從而可判斷；
④由兩角的正弦值相等及A和B為三角形的內角，得到兩角2A和2B相等或互補，即A與B相等或互余，進而確定出三角形的形狀．

解答：解：①△ABC中，若sinA+cosA=-1，兩邊同時平方可得1+2sinAcosA=1
∴sinAcosA=0
若sinA=0，則cosA=-1，A 不存在；若cosA=0，則sinA=-1，A不存在故①錯誤
②由A＞B．三角形的大邊對大角可得a＞b，再由正弦定理可得，2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB，反之也成立，故②正確
③由于函數y=sin（2x+

5π

4

）的對稱軸為：2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，即x=

1

2

kπ-

3π

8

，令k=1可得函數的一條對稱軸為x=

π

8

，故③正確
④因為sin2A=sin2B，且A和B為三角形的內角，則2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，則△ABC一定是等腰或直角三角形，故④不正確．
故答案為：②③．

點評：本題主要考查了三角函數的同角平方關系、三角形的正弦定理及大邊對大角的應用，以及三角函數的對稱軸的求解，是函數與三角函數的知識的綜合應用，屬于中檔題．