Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y=±

3

x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(

5

，

3

)在雙曲線上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且

OP

⊥

OQ

，求|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer 1

分析：（1）由漸近線方程可得關(guān)于a、b的一個(gè)方程，再把點(diǎn)M(

5

，

3

)代入雙曲線的方程又得到關(guān)于a、b的一個(gè)方程，將以上方程聯(lián)立即可解得a、b的值；
（2）利用

OP

⊥

OQ

?

OP

•

OQ

=0、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式即可求出．

解答：解：（1）雙曲線C的漸近線方程為y=±

3

x，
∴b²=3a²，
∵點(diǎn)M(

5

，

3

)在雙曲線上，∴

5

a2

-

3

b2

=1，
聯(lián)立得

b2=3a2 5 a2 - 3 b2 =1

，解得

a2=4 b2=12

，
∴雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
將直線PQ的方程代入雙曲線C的方程，可化為（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0
∴

3-k2≠0 △=(-2km)2-4(3-k2)(-m2-12)＞0

（*）
x1+x2=

2km

3-k2

，x1x2=

-m2-12

3-k2

，
由

OP

•

OQ

=0⇒x1•x2+y1•y2=0，
把y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m代入上式可得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴(1+k2)

-m2-12

3-k2

+km

2km

3-k2

+m2=0，
化簡(jiǎn)得m²=6k²+6．
|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)[(x1+

x

2

)2-4x1x2]=24+

384k2

(k2-3)2

，
當(dāng)k=0時(shí)，|PQ|2=24+

384k2

(k2-3)2

≥24成立，且滿足（*）
又∵當(dāng)直線PQ垂直x軸時(shí)，|PQ|²＞24，
∴|OP|²+|OQ|²的最小值是24．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程、

OP

⊥

OQ

?

OP

•

OQ

=0、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．