Question

已知函數（），且.
（Ⅰ）試用含有的式子表示，并求的極值；
（Ⅱ）對于函數圖象上的不同兩點，，如果在函數圖象上存在點（其中），使得點處的切線，則稱存在“伴隨切線”. 特別地，當時，又稱存在“中值伴隨切線”. 試問：在函數的圖象上是否存在兩點、使得它存在“中值伴隨切線”，若存在，求出、的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ），
當時，的極大值為
（Ⅱ）在函數上不存在兩點、使得它存在“中值伴隨切線”.理由略

（Ⅰ）的定義域為，
，，.          ……………2分
代入，得.
當時，，由，得，
又，，即在上單調遞增；
當時，，由，得，……………4分
又，，即在上單調遞減.
在上單調遞增，在上單調遞減.                  
所以，當時，的極大值為  ………………6分
（Ⅱ）在函數的圖象上不存在兩點、使得它存在“中值伴隨切線”.
假設存在兩點，，不妨設，則
，，

，
在函數圖象處的切線斜率
，
由
化簡得：，.
令，則，上式化為：，即，
若令，
，
由，，在在上單調遞增，.
這表明在內不存在，使得=2.
綜上所述，在函數上不存在兩點、使得它存在“中值伴隨切線”.…………13分