Question

【題目】已知函數，．

（1）若曲線在處的切線方程為，求實數的值；

（2）設，若對任意兩個不等的正數，，都有恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若在上存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）借助題設條件運用導數的幾何意義建立方程求解；（2）借助題設運用轉化化歸的思想進行轉化再運用導數知識求解；（3）依據題設先將問題進行轉化,再借助導數知識分類整合思想分類探求求解.

試題解析：

（1）由，得，

由題意，所以．

（2），

因為對任意兩個不等的正數，，都有，

設，則，即恒成立，

問題等價于函數，即在為增函數，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以，即實數的取值范圍是．

（3）不等式等價于，

整理得，

設，由題意知，在上存在一點，使得，

由，

因為，所以，令，得．

①當，即時，在上單調遞增，

只需，解得．

②當，即時，在處取最小值，

令，即，可得，

考查式子，因為，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不可能成立．

③當，即時，在上單調遞減，

只需，解得．

綜上所述，實數的取值范圍是．