Question

甲乙兩人進行圍棋比賽行約定每局勝者得1分，負者得分，比賽進行到有一人比對方多分或打滿局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽

停止的概率為．若右圖為統計這次比賽的局數和甲、乙的總得分數、的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入，；如果乙獲勝，則輸入．

（Ⅰ）在右圖中，第一、第二兩個判斷框應分別填寫什么條件？

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求比賽到第4局時停止的概率，以及比賽到第6局時停止的概率。

Answer 1

【解】（Ⅰ）程序框圖中的第一個條件框應填，第二個應填．

注意：答案不唯一．（ 4分）

如：第一個條件框填，第二個條件框填，或者第一、第二條件互換．都可以．

（Ⅱ）依題意，當甲連勝局或乙連勝局時，第二局比賽結束時比賽結束．

有．   

 解得或．           

，     ．             （8分）

（Ⅲ）（解法一）

設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為．

若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．

從而有，=，

　　　　．（ 17分）

（解法二）令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝．由獨立性與互不相容性得

，

              ，

                                      ． （17分）