Question

過直線y=x上的一點作圓（x-5）²+（y-1）²=2的兩條切線l₁、l₂，當直線l₁、l₂關于y=x對稱時，它們之所成的銳角的大小（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

Answer 1

分析：設l₁、l₂交點為P，圓心為Q，切點分別為A、B，則PQ⊥直線l：y=x，由點到直線距離公式可求點Q（5，1）到l的距離PQ，圓的半徑|QA|=

2

，在Rt△APQ中，由sin∠APQ=

|QA|

|PQ|

=

1

2

sin∠APQ=

AQ

PQ

可求∠APQ，然后由APB=2∠APQ可求

解答：解：設l₁、l₂交點為P，圓心為Q，切點分別為A、B，
根據兩條切線關于y=x對稱，得到PQ⊥直線y=x，
∴由圓的方程得到圓心Q（5，1）到l：y=x的距離|PQ|=

|5-1|

2

=2

2

，半徑|QA|=

2

由切線的性質可得，PA⊥AQ，PB⊥BQ
在Rt△APQ中，PQ=2

2

，AQ=

2

∴sin∠APQ=

|QA|

|PQ|

=

1

2

故∠APQ=30°，∠APB=2∠APQ=60°
故選C

點評：本題主要考查直線和圓的方程等基礎知識，考查空間想象能力和分析問題、解決問題的能力．