Question

【題目】已知橢圓的離心率e= ， 原點到過A（a，0），B（0，﹣b）兩點的直線的距離是 ．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線y=kx+1（k≠0）交橢圓于不同的兩點E，F，且E，F都在以B為圓心的圓上，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）直線AB的方程為：bx﹣ay﹣ab=0
∵原點到過A（a，0），B（0，﹣b）兩點的直線的距離是．
∴=
∴①
∵橢圓的離心率e=，
∴
∴a2=4b2②
②代入①，可得b2=4，
∴a2=16
∴橢圓的方程為；
（2）由題意，B（0，﹣2）
設E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），由E，F在圓上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2…③，
由E，F在直線y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，
代入③式，可得（1+k2）（x1+x2）（x1﹣x2）+6k（x1﹣x2）=0，
因為E，F為直線上不同兩點，所以x1≠x2 ， 所以（1+k2）（x1+x2）+6k=0，
即x1+x2=-④
又由E，F在橢圓上，將y=kx+1代入，得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0，
由根與系數的關系，x1+x2=-…⑤，
將④⑤兩式聯立求解得k=0（舍）或k=±，
故k═±．
【解析】（1）直線AB的方程為：bx﹣ay﹣ab=0，利用原點到過A（a，0），B（0，﹣b）兩點的直線的距離是 ， 可得= ， 利用橢圓的離心率e= ， 可得 ， 從而可求b2=4，
a2=16，故可求橢圓的方程；
（2）由題意，B（0，﹣2），設E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），由E，F在圓上，得x12+（y1+2）2=x22+（y2+2）2 ， 由E，F在直線y=kx+1得y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入可得（1+k2）（x1+x2）（x1﹣x2）+6k（x1﹣x2）=0，從而可得x1+x2=-；將y=kx+1代入 ， 得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0，由根與系數的關系，可得x1+x2=- ， 從而可求得k的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．