Question

對定義域分別是D_f，D_g的函數y=f（x），y=g（x）.規定：

函數h（x）=

（1）若函數f（x）=，g（x）=x²，寫出函數h（x）的解析式；

（2）求問題（1）中函數h（x）的值域；

（3）若g（x）=f（x+a），其中a是常數，且a∈［0，π］，請設計一個定義域為R的函數y=f（x）及一個a的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明.

Answer 1

解：（1）由已知

h(x)=

（2）當x≠1時，h（x）==x-1++2.

若x＞1，則h（x）≥4，其中等號當x=2時成立.

若x＜1，則h（x）≤0，其中等號當x=0時成立.

∴函數h（x）的值域是（-∞，0］∪{1}∪［4，+∞）.

（3）解法1：令f（x）=sin2x+cos2x，a=,

則g（x）= f（x+a）=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x-sin2x,

于是h(x)=f(x)·f(x+a)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x.

解法2：令f（x）=1+sin2x，a=，

則g（x）=f（x+a）=1+sin［2（x+）］=1-sin2x，

于是h（x）=f（x）·f（x+a）=（1+sin2x）（1- sin2x）=1-2sin²2x=cos4x.