Question

【題目】已知橢圓 的左右焦點分別為，直線經過橢圓的右焦點與橢圓交于兩點，且.

（I）求直線的方程；

（II）已知過右焦點的動直線與橢圓交于不同兩點，是否存在軸上一定點，使？（為坐標原點）若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（I）解法一：直線方程與橢圓方程聯立化為一元二次方程，利用弦長公式即可得出．解法二：利用焦半徑公式可得．

（II） II）設l2的方程為與橢圓聯立：．假設存在點T（t，0）符合要求，設P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用根與系數的關系即可得出．

解：（I）設的方程為與橢圓聯立得

直線經過橢圓內一點，故恒成立，設，則，

，

解得，的方程為或；

解2：由焦半徑公式有，解得.

（II）設的方程為與橢圓聯立：，由于過橢圓內一點，

假設存在點符合要求，設，韋達定理：

，點在直線上有

，即， ，

解得.