Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別是F₁、F₂，過點F₂的直線交雙曲線右支于不同的兩點M、N．若△MNF₁為正三角形，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  6

• B、

  3

• C、

  2

• D、

  3

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據題中所給條件可知M，N關于x軸對稱，|NF₂|=

b2

a

，|F₁F₂|=2c，根據△MNF₁為正三角形，得到（

b2

a

+a）×

3

2

=2c，整理此方程可得雙曲線的離心率．

解答： 解：由題意可知，M，N關于x軸對稱，
∴|NF₂|=

b2

a

，|F₁F₂|=2c，
∵△MNF₁為正三角形，
結合雙曲線的定義，得到MF₁=MF₂+2a，
∴（

b2

a

+a×2）×

3

2

=2c，
∴

3

（c²+a²）=4ac，
兩邊同除以a²，得到

3

e2-4e+

3

=0，解得e=

3

或e=

3

3

＜1（舍去）；
故選B．

點評：本題考查了雙曲線的離心率，關鍵是根據雙曲線的定義以及等邊三角形的性質，找出幾何量a，c之間的關系，解題時要注意雙曲線的離心率要大于1．