Question

某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本y(萬元)與年產量x(噸）之間的函數關系式可以近視地表示為,已知此生產線的年產量最大為210噸.
(Ⅰ) 求年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低，并求最低成本；
(Ⅱ)若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?

Answer 1

(Ⅰ)年產量為噸時，生產每噸產品的平均成本最低，最低成本為萬元；(Ⅱ)當年產量為噸時，可以獲得最大利潤，最大利潤是萬元.

試題分析：(Ⅰ)先根據定義將平均成本的表達式求出來，然后利用基本不等式求平均成本的最小值，但需注意基本不等式適用時的三個基本條件；(Ⅱ)先將總利潤的函數解析式求出來，然后利用函數的單調性與最值的相關方法求總利潤的最大值.
試題解析：(Ⅰ)每噸產品的平均成本
當且僅當取等號即x=200<210 滿足。
年產量為200噸時，生產每噸產品的平均成本最低，最低成本為32萬元；   5分
(Ⅱ)設總利潤為萬元，
則
在上是增函數時，有最大值為
年產量為210噸時，可以獲得最大利潤1660萬元.   10分