Question

（本題滿分12分）
在直角坐標(biāo)系中，動點到兩圓的圓心和的距離的和等于.
(Ⅰ) 求動點的軌跡方程；
(Ⅱ) 以動點的軌跡與軸正半軸的交點C為直角頂點作此軌跡的內(nèi)接等腰直角三角形ABC,試問:這樣的等腰直角三角形是否存在?若存在,有幾個?若不存在,請說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)兩圓的圓心坐標(biāo)分別為、，根據(jù)橢圓的定義可知，動點的軌跡為以、為焦點，長軸長等于的橢圓.
由得,所以，動點的軌跡方程
(Ⅱ)由(Ⅰ)得C點的坐標(biāo)為
不妨設(shè)A、B兩點分居于y軸的左、右兩側(cè),設(shè)CA的斜率為,
則>0,CA所在直線的方程為.
代入橢圓方程并整理得.
∴或.∴A點的坐標(biāo)為.
∴.   同理,.
由|CA|=|CB|得,
∴解得或或
∴符合題意的等腰直角三角形一定存在,且有3個.

略