Question

已知雙曲線=1(a＞0，b＞0)的焦點坐標是F₁(-c，0)和F₂(c，0)，P(x₀，y₀)是雙曲線上的任一點，求證：|PF₁|=|a+ex₀|，|PF₂|=|a-ex₀|，其中e是雙曲線的離心率.

Answer 1

思路分析：本題主要考查雙曲線第二定義的應用.雙曲線的第二定義可以算作雙曲線的一種簡單性質來應用.

解：雙曲線=1的兩焦點為F₁(-c，0)、F₂(c,，0)，相應的準線方程分別是x=和x=.

∵雙曲線上任一點到焦點的距離與它到相應準線的距離的比等于這個雙曲線的離心率，

∴=e,=e.化簡得|PF₁|=|a+ex₀|，|PF₂|=|a-ex₀|.

    深化升華 |PF₁|、|PF₂|都是雙曲線上的點到其焦點的距離，通常稱作焦半徑.|PF₁|=|a+ex₀|，|PF₂|=|a-ex₀|稱作焦半徑公式.