Question

設f（x）=ax²+x-a，g（x）=2ax+5-3a
（1）若f（x）在x∈[0，1]上的最大值是

5

4

，求a的值；
（2）若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍；
（3）若f（x）=g（x）在x∈[0，1]上有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）在端點或對稱軸處可能取得最大值，利用f（x）在x∈[0，1]上的最大值是

5

4

，求a的值，驗證即可得到結論；
（2）對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，等價于f（x）的值域是g（x）值域的子集，分類討論，即可求得a的取值范圍；
（3）根據f（x）=g（x）在x∈[0，1]上有解，利用分離參數法，進而確定函數的最值，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）可能取得最大值為f（0），f（1），f（-

1

2a

）
①當f（0）為最大值時，求得a=-1.25，由二次函數的最大值位置x=-

1

2a

∈[0，1]，與在x=0處取得最大值矛盾，故f（0）為最大值不成立；
②當f（1）為最大值時，f（1）=1≠1.25，故x=1處，f（x）取不到最大值；
③當f（-

1

2a

）為最大值時，由f（-

1

2a

）=4，可得

-4a2-1

4a

=

5

4

，∴a=-

1

4

或a=-1，
當a=-

1

4

時，-

1

2a

=2不在[0，1]內，故舍去．
綜上知，a=-1；
（2）依題意f（x）的值域是g（x）值域的子集，
①a＞0時，g（x）∈[5-3a，5-a]，f（x）∈[-a，1]
所以

5-3a≤-a 5-a≥1

，解得，a∈[

5

2

，4]；
②a=0時，不符題意舍去；
③a＜0時，f（x）最小值為f（0）或f（1），其中f（0）=-a，而-a＜5-a，不符合題意
∴f（1）=1＜5-a，也不符合題意
綜上，a∈[

5

2

，4]；
（3）f（x）=g（x）在x∈[0，1]上有解，等價于ax²+x-a=2ax+5-3a，即ax²+（1-2a）x+2a-5=0，亦即a=

5-x

x2-2x+2

（x∈[0，1]）成立
令5-x=t，則t∈[4，5]，∴a=

t

t2-8t+17

=

1

t+ 17 t -8

∵t∈[4，5]，∴t+

17

t

-8∈[2

17

-8，

2

5

]
∴

1

t+ 17 t -8

∈[

5

2

，

17 +4

2

]
∴a的取值范圍為[

5

2

，

17 +4

2

]．

點評：本題考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．