Question

【題目】若函數有兩個極值點，其中，且，則方程的實根個數為 ．

Answer 1

【答案】5

【解析】

由函數f（x）=﹣lnx+ax2+bx﹣a﹣2b有兩個極值點x1，x2，可得2ax2+bx﹣1=0有兩個不相等的正根，必有△=b2+8a＞0．而方程2a（f（x））2+bf（x）﹣1=0的△1=△＞0，可知此方程有兩解且f（x）=x1或x2．再分別討論利用平移變換即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解的個數．

∵函數f（x）=﹣lnx+ax2+bx﹣a﹣2b有兩個極值點x1，x2，

∴f′（x）=﹣+2ax+b=，

即為2ax2+bx﹣1=0有兩個不相等的正根，

∴△=b2+8a＞0．解得x=．

∵x1＜x2，﹣，b＞0，

∴x1=，x2=．

而方程2a（f（x））2+bf（x）﹣1=0的△1=△＞0，

∴此方程有兩解且f（x）=x1或x2

即有0＜x1＜x2，：∵x1，x2＞0又x1x2=﹣＞1

∴x2＞1，∵f（1）=﹣b＜0∴f（x1）＜0，

f（x2）＞0．

①根據f′（x）畫出f（x）的簡圖，

∵f（x2）=x2，由圖象可知方程f（x）=x2有兩解，方程f（x）=x1有三解．

綜上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2共有5個實數解．

即關于x的方程2a（f（x））2+bf（x）﹣1=0的共有5不同實根．

故答案為：5