Question

已知函數f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然對數的底數，a∈R．
（Ⅰ）當a＜0時，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）當a=0時，求使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解的整數k的所有取值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數f（x）=（ax²+x）e^x，已知e^x＞0，不等式f（x）＞0，轉化為x(x+

1

a

)＜0，根據a＜0，求出不等式的解集；
（Ⅱ）因為a=0時，求使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解，等價于方程ex-

2

x

-1=0有解，利用導數研究其單調性利用零點定理判斷其根的個數；

解答：解：（Ⅰ）因為e^x＞0，所以f（x）＞0，即ax²+x＞0．
又因為a＜0，所以不等式可化為x(x+

1

a

)＜0
所以不等式f（x）＞0的解集為（0，-

1

a

）．     …（4分）
（Ⅱ）當a=0時，方程f（x）=x+2，即xe^x=x+2，由于e^x＞0，
所以x=0不是方程的解，所以原方程等價于ex-

2

x

-1=0
令h(x)=ex-

2

x

-1，因為h/(x)=ex+

2

x2

＞0對于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以函數h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內是單調遞增函數，
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h(-3)=e-3-

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以函數h（x）在區間[1，2]和[-3，-2]上分別有一個零點，
即方程f（x）=x+2有且只有兩個實數根，且分別在區間[1，2]和[-3，-2]上，
故k=1或k=-3．    …（12分）

點評：此題主要考查一元二次不等式的解法以及利用導數研究函數的單調性問題，解題過程中用到了轉化的思想，是一道中檔題；