Question

（理）設雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為e，若準線l與兩條漸近線相交于P、Q兩點，F為右焦點，△FPQ為等邊三角形．
（1）求雙曲線C的離心率e的值；
（2）若雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長為求雙曲線c的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據雙曲線方程可知，雙曲線C的右準線l的方程為：x=，兩條漸近線方程為：，從而可得兩交點坐標，根據△PFQ為等邊三角形，則有，從而可建立方程，利用c²-a²=b²，即可求得雙曲線C的離心率e的值；
（2）由（1）得雙曲線C的方程為．把代入得．
利用韋達定理及弦長公式，可求弦長，利用雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長為，建立方程，可求a²的值，從而得到雙曲線C的方程．
解答：解：（1）雙曲線C的右準線l的方程為：x=，兩條漸近線方程為：．
∴兩交點坐標為 ，、，．
設M為PQ與x軸的交點
∵△PFQ為等邊三角形，則有（如圖）．
∴，即．
解得 ，c=2a．
∴．
（2）由（1）得雙曲線C的方程為．直線方程為
把代入得．
依題意
∴a²＜6，且a²≠3．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴，
∴雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長為=
∵．
∴．
整理得 13a⁴-77a²+102=0．
∴a²=2或．
∴雙曲線C的方程為：或 ．
點評：本題以雙曲線的性質為載體，考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵是利用韋達定理求弦長