Question

如圖所示，是合肥一中教學區示意圖，現有甲乙丙丁4人來校加全國中學語文十校論壇，4人只能從校門進入校園，甲丁必從同一校門進校，甲乙丙3人從哪個校門進校互不影響，且每人從任何一校門進校都是等可能的．
（Ⅰ）求僅有一人從西大門進入學校的概率；
（Ⅱ）設4人中從西大門進入校園的人數為隨機變量ξ，求ξ的數學期望；
（Ⅲ）設隨機變量η(x)=

3x (ξ≥x，x∈{0，1，2，3}) 4ξ-x (ξ＜x，x∈{0，1，2，3})

，求Eη的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲乙丙3人從哪個校門進校互不影響，且每人從任何一校門進校都是等可能的，符合獨立重復試驗，根據獨立重復試驗的概率公式得到僅有一人從西大門進入學校的概率．
（Ⅱ）由題意知4人中從西大門進入校園的人數為隨機變量ξ，由題意知ξ的可能取值是0，1，2，3，4，根據獨立重復試驗和互斥事件的概率公式，得到變量的概率，寫出分布列，做出期望．
（Ⅲ）根據所給的隨機變量的關系式，對x的值進行討論，分別求出變量的期望值，把所得的期望值進行比較得到結果．

解答：解：（Ⅰ）甲乙丙3人從哪個校門進校互不影響，且每人從任何一校門進校都是等可能的．
符合獨立重復試驗，
∴僅有一人從西大門進入學校P1=

C

1 2

(

1

3

)1(

2

3

)2=

8

27

，
即僅有一人從西大門進入學校的概率是

8

27

；
（Ⅱ）4人中從西大門進入校園的人數為隨機變量ξ，由題意知ξ的可能取值是0，1，2，3，4，
根據獨立重復試驗和互斥事件的概率公式，得到變量的概率，
∴ξ的分布列是：

∴Eξ=0×

8

27

+1×

8

27

+2×

6

27

+3×

4

27

+4×

1

27

=

4

3

（Ⅲ）當x=0時，Eη（0）=0；當x=1時，Eη(1)=

43

27

；
當x=2時，Eη(2)=

66

27

；當x=3時，Eη(3)=

47

27

；
當x=4時，Eη(4)=

36

27

；
綜上有當x=2時，(Eη)max=Eη(2)=

66

27

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查獨立重復試驗概率公式，考查最值問題，是一個綜合題目，題目運算量比較大，．