Question

冬天，潔白的雪花飄落時十分漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數學家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過程如下：
（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無限多次繼續作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M₁、M₂、…、M_n…設M₁的邊長為1．
求：（1）M_n的邊數a_n；
    （2）M_n的邊長L_n；
    （3）M_n的面積S_n的極限．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題知：a_n遞推公式為，從而可知{a_n}為等比數列，故可求通項公式
（2）由題知：每個圖形的邊長都相等，且長度變為原來的，從而邊長b_n的遞推公式為，故可求）M_n的邊數L_n；
（3）當由M_n-1生成M_n時，每條邊上多了一個面積為的小等邊三角形，共有a_n-1個．從而可求M_n的面積S_n，進而可求極限．
解答：解：（1）由題知：a_n遞推公式為
所以{a_n}為等比數列，其通項公式為a_n=3•4^n-1   
（2）由題知：每個圖形的邊長都相等，且長度變為原來的，
所以邊長b_n的遞推公式為
∴
（3）當由M_n-1生成M_n時，每條邊上多了一個面積為的小等邊三角形，共有a_n-1個．
∴
∵
∴
∴
∴M_n的面積S_n的極限為
點評：本題以實際問題為載體，考查數列模型的構建，考查數列的極限，有一定的綜合性．