Question

根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

(1)-1,7,-13,19,…;

(2)7,77,777,7 777,…;

(3),,,,,…;

(4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…;

(5),,,,…;

(6),,,,…;

(7)1,0,,0,,0,,0,…;

(8)11,102,1 003,10 004,….

   

Answer 1

思路分析：本題給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)，要求寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.通項(xiàng)公式就是尋找一列數(shù)的排列規(guī)則，也即找每一個(gè)數(shù)與它的序號(hào)間的對(duì)應(yīng)法則.

    解：(1)應(yīng)解決兩個(gè)問(wèn)題，一是符號(hào)問(wèn)題，可考慮用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹表示；二是各項(xiàng)絕對(duì)值的排列規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)后面的數(shù)的絕對(duì)值總比它前面數(shù)的絕對(duì)值大6.故通項(xiàng)公式a_n=(-1)ⁿ(6n-5).

(2)先聯(lián)想數(shù)列1,11,111,1 111,…的通項(xiàng)，它又與數(shù)列9,99,999,9 999,…的通項(xiàng)有關(guān)，而=10ⁿ-1,于是a_n=(10ⁿ-1).

(3)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積.經(jīng)過(guò)組合，則所求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=.

(4)數(shù)列的各項(xiàng)具有周期性，聯(lián)想基本數(shù)列1,0,-1,0,…,則a_n=5sin.

(5)數(shù)列可以寫(xiě)成,,,,…,于是分子依次為3,4,5,6,…,其規(guī)律是后項(xiàng)等于前項(xiàng)加1，又首項(xiàng)為3=1+2，故分子的通項(xiàng)公式為n+2;分母依次為5,8,11,14,其規(guī)律是后項(xiàng)等于前項(xiàng)加3,又首項(xiàng)為5=3×1+2,故分母的通項(xiàng)公式為3n+2.

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=.

(6)分子為1,3,5,7,…,其通項(xiàng)公式為2n-1;分母為4,8,16,32,即2²,2³,2⁴,2⁵,…,其通項(xiàng)公式為2ⁿ⁺¹.∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=.

(7)所給數(shù)列可等價(jià)變形為,,,,,,,,…,分子是1,0重復(fù)變化，且奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為0，其通項(xiàng)公式為,分母的通項(xiàng)公式為n，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

(8)所給數(shù)列可等價(jià)變形為10+1,10²+2,10³+3,10⁴+4,…,所以其通項(xiàng)公式為a_n=10ⁿ+n.

    思維啟示：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：

(1)符號(hào)用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹或(-1)^n-1來(lái)調(diào)解，這是因?yàn)閚和n+1奇偶交錯(cuò).

(2)分式形式的數(shù)列，分子找通項(xiàng)，分母找通項(xiàng)，要充分借助分子、分母的關(guān)系.

(3)對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來(lái)解決.

(4)此類(lèi)問(wèn)題雖無(wú)固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知的數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列)等方法.

(5)應(yīng)注意：①并非所有的數(shù)列都能寫(xiě)出通項(xiàng)公式；②同一數(shù)列的通項(xiàng)公式未必唯一；③數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，其通項(xiàng)公式可用分段函數(shù)來(lái)表示.