Question

某港口的水深y(米)是時間t(，單位：小時)的函數(shù)，下面是水深的數(shù)據(jù)：

根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如下圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖象．

(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出的表達(dá)式；

(2)一般情況下，船舶航行時，般底離海底的距離不少于4.5米時是安全的，如果某般的吃水深度(般底與水面的距離)為7米，那么該般在什么時間段能夠安全進(jìn)港?若該般欲當(dāng)天安全離港，則在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間(忽略進(jìn)出港所用的時間)？

Answer 1

答案：略
解析：

(1)從擬合曲線可知：函數(shù)在一個周期內(nèi)最大變到最小需9－3＝6(小時)，此為半個周期，所以函數(shù)的最小正周期為12小時，因此，． 又∵當(dāng)t＝0時，y＝10；當(dāng)t＝3時，， ∴，A＝13－10＝3． 于是所求的函數(shù)表達(dá)式為． (2)由于船的吃水深度為7米，船底與海底的距離不少于4.5米，故在船舶航行時水深y應(yīng)大于等于7＋4.5＝11.5(米)． 由擬合曲線可知，一天24小時，水深y變化兩個周期，故要使船舶在一天內(nèi)停留港口的時間最長，則應(yīng)從凌晨3點前進(jìn)港，而從第二個周期中的下午15點后離港． 令，可得． ∴， ∴． 取，則；取，則； 而取時，則(不合題意)． 從而可知船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時間最長，就應(yīng)從凌晨1點后(1點到5點都可以)進(jìn)港，而下午的17點(即13點到17點之間)前離港，在港內(nèi)停留的時間最長為16小時．

提示：

(1)從擬合曲線可知：函數(shù)的周期：由t＝0時的函數(shù)值，t＝3時取得的最大值，進(jìn)而可求得、A、b的值，即得函數(shù)的表達(dá)式． (2)根據(jù)(1)中求得的函數(shù)表達(dá)式，求出數(shù)值不小于4.5＋7＝11.5(米)的時段，從而就可回答題中的兩問．