Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面與底面垂直， 為正三角形， ， ，點分別為線段的中點， 分別為線段上一點，且， .

（1）當時，求證： 平面；

（2）試問：直線上是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的大小為，若存在，求的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在點，且.

【解析】試題分析：

(1)由題意結合幾何關系可證得平面，然后利用面面平行的性質即可證得.

(2)建立空間直角坐標系，結合題意可得存在點，且.

試題解析：

(Ⅰ)在線段上取一點，使得，

∵，∴，

又為中點，∴，

∵，∴，又易知，

∴.

又，∴平面，

而，∴.

（Ⅱ）取中點，連接，因為為正三角形，所以，

又側面底面，所以底面，

如圖所示，以為軸， 的中垂線為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，則， ，設，則， ，

設平面的的一個法向量為，

則，求得一個法向量

又易得平面的一個法向量為，

所以，

解得，故存在點，且.