Question

數列中各項為正數，為其前n項和，對任意，總有成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）是否存在最大正整數p，使得命題“，”是真命題？若存在，求出p；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1);(2)詳見解析.

試題分析：(1)根據是等差數列，得到,當時，兩式相減整理得到關于數列的遞推公式，可以知道數列是等差數列，利用求出首項;
(2)第一種方法就是首先假設存在正整數,滿足，利用代入得成立即中的最大整數，設,,利用導數易知函數的單調性，易求函數的最小值，
第二種方法設函數，求其導數，得到函數是單調遞增函數，其最大值小于0，求出p的范圍.
試題解析：（1）由已知時，，∴
兩式相減，得     ∴
又為正數，∴.           4分
∴是公差為1的等差數列.
當時，，得，∴.   6分
（2）解法1：假設存在正整數p，滿足，即.
∴                                 8分
設函數，則.
當時，，∴在[1，+∞）上為增函數.
∴，即有.
∵p為滿足的最大正整數，而，故.   12分
解法2：設，
，
故在[1，+∞）上為減函數，             9分
.
令. ∵，
故使成立的最大正整數.   12分求;2.利用函數的導數求其最值.