Question

在數列{a_n}中，a₁＝2，a_n＋1＝4a_n－3n＋1，n∈N^*.
(1)求證：數列{a_n－n}是等比數列；
(2)求數列{a_n}的前n項和S_n；
(3)求證：不等式S_n＋1≤4S_n對任意n∈N^*皆成立．

Answer 1

（1）見解析（2）（3）見解析

(1)證明：由題設a_n＋1＝4a_n－3n＋1，得a_n＋1－(n＋1)＝4(a_n－n)，n∈N^*.又a₁－1＝1，所以數列{a_n－n}是首項為1，公比為4的等比數列．
(2)解：由(1)可知a_n－n＝4^n－1，于是數列{a_n}的通項公式為a_n＝4^n－1＋n，所以數列{a_n}的前n項和S_n＝.
(3)證明：對任意的n∈N^*，S_n＋1－4S_n＝＝－ (3n²＋n－4)≤0，所以不等式S_n＋1≤4S_n對任意n∈N^*皆成立．