Question

下列命題中正確的是（　　）

A．y=x+ 1 x 的最小值是2

B．y= x2+3 x2+2 的最小值是2

C．y= x2+5 x2+4 的最小值是 5 2

D．y=2-3x- 4 x 的最大值是2-4 3

Answer 1

當x＞0時，y=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，其最小值是2；
當x=0時，y=x+

1

x

不存在；
當x＜0時，y=x+

1

x

=-（-x-

1

x

）≤-2

(-x)•(- 1 x )

=-2，其最大值是-2．
故A不成立；
設y=x+

1

x

，則y′=1-

1

x2

，當x＞1時，y′＞0，
∴y=x+

1

x

在（1，+∞）內是增函數．
∵y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

，

x2+2

≥

2

，
∴y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥

2

+

1

2

=

3 2

2

，
∴y=

x2+3

x2+2

的最小值是

3 2

2

，故B不正確．
∵y=

x2+5

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，

x2+4

≥2，
∴y=

x2+5

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

≥2+

1

2

=

5

2

，
∴y=

x2+5

x2+4

的最小值是

5

2

，故C正確；
當x＞0時，y=2-3x-

4

x

≤2-2

3x• 4 x

=2-4

3

，其最大值是2-4

3

；
當x=0時，y=2-3x-

4

x

不存在；
x＜0時，y=2-3x-

4

x

≥2+2

(-3x)• 4 x

=2+4

3

，其最小值是2+4

3

，故D不成立．
故選C．