Question

設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+=S_n²，其中S_n為數列{a_n}的前n項和．
（I）求證：a_n²=2S_n-a_n；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ為非零常數，n∈N^*），問是否存在整數λ，使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：本題考查的是數列與不等式的綜合題．在解答時：
（I）首先討論n=1和n≥2時兩種情況，結合通項與前n項和之間的關系通過作差、變形化簡即可獲得問題的解答；
（II）利用（1）的結論寫出相鄰的一項對應的關系式，注意保證n≥2．用作差法可分析知數列a_n為等差數列，進而即可獲得數列的通項公式；
（III）首先假設存在λ使得滿足題意，然后計算化簡b_n+1-b_n，再結合恒成立問題進行轉化，將問題轉化為：(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1對任意的n∈N*恒成立．然后分n為奇偶數討論即可獲得λ的范圍，再結合為整數即可獲得問題的解答．

解答：解：
（I）證明：當n=1時，a₁³=a₁²，∵a₁＞0，∴a₁=1．
當n≥2時，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，
a₁³+a₂³+…+a_n-1³=S_n-1²，
兩式相減知：a_n³=S_n²-S_n-1²=a_n（2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n），
∵a_n＞0
∴a_n²=2a₁+2a₂+…+2a_n-1+2a_n-a_n
∴a_n²=2S_n-a_n
綜上可知：∴a_n²=2S_n-a_n，n∈N*．
（II）∵a_n²=2S_n-a_n
∴當n≥2時，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1，
∴a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
又∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1-1=0
∴a_n-a_n-1=1
所以數列a_n為首項為1，公差為1的等差數列．
∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=n，n∈N*．
（III）假設存在λ使得對任意的n∈N*，有b_n+1＞b_n．
∵a_n=n，n∈N*
∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2an= 3n +(-1)n-1•λ•2n，
∴b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ]
∴b_n+1-b_n=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0
∴(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1對任意的n∈N*恒成立．
當n=2k-1，k∈N*時，λ＜(

3

2

)2k-2對任意的k∈N*恒成立．
∴λ＜1
當n=2k，k∈N*時，λ＞-(

3

2

)2k-1對任意的k∈N*恒成立．
∴λ＞-

3

2

∴-

3

2

＜λ＜1，又∵λ≠0且λ∈Z
∴λ=-1．
∴存在整數λ=-1，使得對任意n∈N*有b_n+1＞b_n成立．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合題．在解答的過程當中充分體現了數列通項與前n項和的知識、分類討論的知識以及恒成立問題的解答規律．值得同學們體會和反思．