Question

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在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，

由求導(dǎo)法則，得，化簡(jiǎn)得等式：。

（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式 （，正整數(shù)），證明：。

（2）對(duì)于正整數(shù)，求證：

（i）；  （ii）；  （iii）。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析。

（2）證明見解析。

【解析】

證明：（1）在等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得

          移項(xiàng)得                 （*）

（2）（i）在（*）式中，令，整理得 

     所以   

（ii）由（1）知

兩邊對(duì)求導(dǎo)，得

在上式中，令

              

即 ，

亦即          （1） 

又由（i）知          （2）

由（1）+（2）得

（iii）將等式兩邊在上對(duì)積分

    由微積分基本定理，得

    所以