Question

已知直線：x=my+1過橢圓C：的右焦點F，拋物線：的焦點為橢圓C的上頂點，且直線交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點D、K、E。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線交y軸于點M，且，當m變化時，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說明理由；
（3）連接AE、BD，試探索當m變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由。

Answer 1

解：（1）易知橢圓右焦點F（1，0），
∴c=1，
又拋物線的焦點坐標為，
∴b=，b²=3，
∴，
∴橢圓C的方程為。
（2）易知，且與y軸交于，
設直線與橢圓交于，
由，
∴，
∴，
又由，
∴，
∴，同理，
∴，
∵，
∴，
所以，當m變化時，的值為定值。
（3）先探索，當m=0時，直線軸，
則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交，FK的中點N，且，
猜想：當m變化時，AE與BD相交于定點，
證明：由（2）知，，
∴，
當m變化時，首先證直線AE過定點，
∵：，
當時，

   
    ，
∴點在直線上，
同理可證也在直線上，
∴當m變化時，AE與BD相交于定點。