Question

已知,函數.

（Ｉ）證明：函數在上單調遞增；

（Ⅱ）求函數的零點．

 

Answer 1

（Ｉ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；

【解析】

試題分析：（Ｉ）先在上任取兩變量，設，再對作差變形化簡，判斷大小確定單調性．
（Ⅱ）要求函數f（x）的零點，即求方程f（x）=0的根，對和分情況求解，其中當時，令, 即，對此方程中參數a對根的情況進行討論求解.

試題解析： (1)證明:在上任取兩個實數,且,

則． 2分

∵, ∴．

∴, 即. ∴．

∴函數在上單調遞增． 4分[K]

(2) (ⅰ)當時, 令, 即, 解得.

∴是函數的一個零點． 6分

（ⅱ）當時, 令, 即．(※)

①當時, 由(※)得,∴是函數的一個零點； 8分

②當時, 方程(※)無解；

③當時, 由(※)得,(不合題意,舍去) 10分

綜上, 當時, 函數的零點是和；

當時, 函數的零點是． 12分

考點：1.函數單調性的判斷與證明；2.分段函數的解析式求法及其圖象的作法；3.函數的零點．