Question

已知函數(shù)f(x)=

x

ex

(x＞0)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）設(shè)P為函數(shù)f（x）圖象上的一點(diǎn)，以線段OP為母線繞x軸旋轉(zhuǎn)得到幾何體M，求幾何體M的體積的最大值．
（3）如果0＜x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），試比較f（x₂）與f（2-x₁）的大小．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）表示出幾何體M的體積，利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)論；
（3）確定0＜x₁＜1＜x₂，2-x₁＞1，分類討論，可得結(jié)論．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=

1-x

ex

(x＞0)
令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）；
（2）幾何體M的體積V=

1

3

π•(

x

ex

)2•x=

πx3

3e2x

（x＞0）
∴V′=

πx2(9-x)

e2x

∴x∈（0，9）時(shí)，V′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；x∈（9，+∞）時(shí)，V′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=9時(shí)，V取得最大值，最大值為

9π

e18

；
（3）∵0＜x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞），
∴0＜x₁＜1＜x₂，
∴2-x₁＞1
若1＜x₂＜2-x₁，則f（x₂）＞f（2-x₁）；若x₂＞2-x₁＞1，則f（x₂）＜f（2-x₁）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查大小比較，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．