Question

籃球運動員比賽投籃，命中得1分，不中得0分，已知運動員甲投籃命中率的概率為P．
（1）若投籃1次得分記為ξ，求方差Dξ的最大值；
（2）當（1）中Dξ取最大值時，求運動員甲投5次籃得分為4分的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意ξ服從兩點分布，Dξ=（0-p）²×（1-p）+（1-p）²×p，（0＜p＜1），轉化為二次函數求最值．
（2）由（1）可知P=

1

2

，投5次藍得分為 η，則η～B（5，

1

2

）．利用貝努利概型即可求出運動員甲投5次籃得分為4分概率．

解答：解：（1）依題意，ξ的分布列為

ξ	0	1
P	1-p	p

…（1分）
∴Dξ=（0-p）²×（1-p）+（1-p）²×p=-（p-

1

2

）²+

1

4

                     …（4分）
∴當p=

1

2

時，Dξ取最大值，且最大值為

1

4

        …（6分）
（2）由（1）可知P=

1

2

，投5次藍得分為 η，則η～B（5，

1

2

）  …（8分）
那么P（η=4）=C

4 5

(

1

2

)4×

1

2

=

5

32

         （11分）
則運動員甲投5次籃得分為4分概率為

5

32

．      …（12分）

點評：本題考查兩點分布的期望和方差，及函數的最值問題，本題將概率知識與函數知識很好的結合，難度不大．