Question

（12分） 已知四棱錐的三視圖如下圖所示，是側棱上的動點．
（1） 求四棱錐的體積；
（2） 是否不論點在何位置，都有？證明你的結論；
（3） 若點為的中點，求二面角的大小．

Answer 1

(1)
（2）不論點在何位置，都有
（3）

解：（1） 由三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，側棱底面，且，


∴，
即四棱錐的體積為；
（2） 不論點在何位置，都有．
證明如下：連結，
∵是正方形，
∴．
∵底面，且平面，
∴．
又∵，
∴平面．
∵不論點在何位置，
都有平面．
∴不論點在何位置，
都有；
（3） 解法1：在平面內過點作于，連結．
∵，，，
∴Rt△≌Rt△，
從而△≌△，∴．∴為二面角的平面角．
在Rt△中，，
又，在△中，由余弦定理得
，
∴，即二面角的大小為．
解法2：如圖，以點為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系．則，從而，，，．
設平面和平面的法向量分別為，，
由，
取．由，
取．設二面角的平面角為，則
，
∴，即二面角的大小為．