Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，BC=

2

，M是AD中點，N是B₁C₁中點．
（Ⅰ）求證：NA₁∥CM；
（Ⅱ）求證：平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，求出

NA1

=（

2

2

，-1，0），

CM

=（

2

2

，-1，0），可得

NA1

=

CM

，即可證明NA₁∥CM；
（Ⅱ）證明

D1B

•

MN

=0+1-1=0，

D1B

•

CM

=0，即可證明D₁B⊥平面A₁MCN，從而平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁．

解答： 證明：（Ⅰ）以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，則B(

2

，1，0)，A(

2

，0，1)，D1(0，0，1)，C(0，1，0)，M(

2

2

，0，0)，N(

2

2

，1，1)
∴

NA1

=（

2

2

，-1，0），

CM

=（

2

2

，-1，0），
∴

NA1

=

CM

，
∴NA₁∥CM；
（Ⅱ）∵

D1B

=（

2

，1，-1），

MN

=（0，1，1），

CM

=（

2

2

，-1，0），
∴

D1B

•

MN

=0+1-1=0，

D1B

•

CM

=0，
∴D₁B⊥MN，D₁B⊥CM，
又MN∩CM=M，…（6分）
∴D₁B⊥平面A₁MCN，又D₁B?平面A₁BD₁，
∴平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間向量的運用，正確求出向量的坐標是關鍵．