Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高．
（Ⅰ）證明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若AB=

6

，∠APB=∠ADB=60°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證平面PAC⊥平面PBD，只需證明平面PAC內的直線AC，垂直平面PBD內的兩條相交直線PH，BD即可．
（Ⅱ）AB=

6

，∠APB=∠ADB=60°，計算等腰梯形ABCD的面積，PH是棱錐的高，然后求四棱錐P-ABCD的體積．

解答：解：
（1）因為PH是四棱錐P-ABCD的高．
所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD內，且PH∩BD=H．
所以AC⊥平面PBD．
故平面PAC⊥平面PBD（6分）
（2）因為ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=

6

．
所以HA=HB=

3

．
因為∠APB=∠ADB=60°
所以PA=PB=

6

，HD=HC=1．
可得PH=

3

．
等腰梯形ABCD的面積為S=

1

2

ACxBD=2+

3

（9分）
所以四棱錐的體積為V=

1

3

×（2+

3

）×

3

=

3+2 3

3

．（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力，計算能力，推理能力，是中檔題．