Question

設x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則

3

a

+

2

b

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：可以作出不等式的平面區域，根據目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12得到2a+3b=6，再用乘積進而用基本不等式解答．

解答：解：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分，
當直線ax+by=z（a＞0，b＞0）
過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4，6）時，
目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
∴4a+6b=12⇒2a+3b=6．
∴

3

a

+

2

b

=（

3

a

+

2

b

）×

2a+3b

6

=

1

6

（12+

6b

a

+

6a

b

）=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

b a • a b

=4．
即

3

a

+

2

b

的最小值為4．
故答案為：4．

點評：本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題．要求能準確地畫出不等式表示的平面區域，并且能夠求得目標函數的最值．