Question

已知函數(）是奇函數，有最大值
且.
（1）求函數的解析式；
（2）是否存在直線與的圖象交于P、Q兩點，并且使得、兩點關于點 對稱，若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）（2）過P、Q的直線l的方程：x－4y－1=0

(1)由于f(x)為奇函數，可知f(-x)+f(x)=0恒成立，據此可求出c=0.
∴f(x)=.由a＞0，,所以當x>0時，才可能取得最大值，所以x＞0時，當且僅當,即時，f(x)有最大值,
從而得到a=b² ,再結合f(1)＞，∴＞,
∴5b＞2a+2,,可求出a,b的值.
(2)本小題屬于存在性問題，先假設存在，設P(x₀,y₀),根據P、Q關于點（1，0）對稱,可求出點P的坐標，從而確定Q的坐標，所以PQ的方程易求.
解：（1）∵f(x)是奇函數，
∴f(–x)=－f(x)，即，
∴－bx+c=－bx–c，
∴c=0，------------2分
∴f(x)=.由a＞0，，     當x≤0時，f(x)≤0，
當x＞0時，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0時取得.
∴x＞0時，當且僅當
即時，f(x)有最大值∴=1,∴a=b²        ①
又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2   ②
把①代入②得2b²–5b+2＜0解得＜b＜2，又b∈N,∴b="1,a=1," ----------4分
∴f(x)=              ------------7分
（2）設存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，且P、Q關于點（1，0）對稱，
P(x₀,y₀)則Q（2–x₀,–y₀)，∴,消去y₀，得x₀²–2x₀–1=0---9分
解之，得x₀=1±,∴P點坐標為()或()，
進而相應Q點坐標為Q（）或Q()， -------11分
過P、Q的直線l的方程：x－4y－1=0即為所求. -----------15分